Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，BC=

2

AB，点E是棱PB中点，点F在PC上，且PF=

1

4

PC．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求证：平面AEF⊥平面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先根据线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAB，进而根据线面垂直的性质推断出AE⊥BC，然后根据线面垂直的判定定理证明出AE⊥平面PBC，则AE⊥PC得证；
（2）证明△PFA∽△PAC，可得∠PFA=∠PAC=90°，PC⊥AF，利用AE⊥PC，可以证明PC⊥平面AEF，即可证明平面AEF⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）∵AP=AB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，
∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC；
（2）设PA=a，则AC=

3

a，∴PC=2a，
∵PF=

1

4

PC，∴PF=

a

2

，
∴△PFA∽△PAC，
∴∠PFA=∠PAC=90°，
∴PC⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴PC⊥平面AEF，
∵PC?平面PCD，
∴平面AEF⊥平面PCD．

点评：本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理的应用．考查了学生空间观察能力和推理能力．