Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PD中点F，连结EF，AF，由已知条件推导出四边形ABEF是平行四边形，由此能证明BE∥平面PAD．
（2）由线面垂直得AB⊥PA，AB⊥AD，再由AD⊥PB，得AD⊥平面PAB，进而得到AD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．

解答： （1）证明：取PD中点F，连结EF，AF，
∵在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点，
∴EF

∥

.

1

2

DC，∴EF

∥

.

AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF∥BE，
又AF?平面PAD，BE不包含平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）证明：∵AB⊥平面PAD，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
∴AB⊥PA，AB⊥AD，
∵AD⊥PB，又PB∩AB=B，
∴AD⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，∴AD⊥PA，
∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．