Question

8．已知f（x）=$-{x^2}+2x+4，g（x）=-x+4，定义F（x）=\left\{\begin{array}{l}g（x）\\ f（x）\end{array}\right.\begin{array}{l}，{f（x）≥g（x）}\\，{f（x）＜g（x）}\end{array}$，则F（x）的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． 5
• D． 3

Answer 1

分析 当f（x）≥g（x）时，即-x²+2x+4≥-x+4，解得：0≤x≤3；当f（x）＜g（x）时，即-x²+2x+4＜-x+4，解得：x＜0或x＞3，求得F（x）的解析式，绘制函数图象，由函数图象即可求得F（x）的最大值

解答 解：当f（x）≥g（x）时，即-x²+2x+4≥-x+4，解得：0≤x≤3；
当f（x）＜g（x）时，即-x²+2x+4＜-x+4，解得：x＜0或x＞3，
∴函数F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）}&{f（x）≥g（x）}\\{f（x）}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-x+4}&{（0≤x≤3）}\\{-{x}^{2}+2x+4}&{（x＜0或x＞3）}\end{array}\right.$，
由函数图象可知：当x=0时，F（x）取最大值，最大值为：4，
故答案选：B．

点评 本题考查求函数的最值的方法，考查分段函数的解析式的求法，考查分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题．