Question

20．命题p：?b∈R，使直线y=-x+b是曲线y=x³-3ax的切线．若?p为真，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $a＜\frac{1}{3}$
• B． $a≤\frac{1}{3}$
• C． $a＞\frac{1}{3}$
• D． $a≥\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 写出命题p的否定，求出f（x）=x³-3ax的导函数，得到导函数的范围，结合￢p为真可得关于a的不等式，则a的范围可求．

解答 解：由命题p：?b∈R，使直线y=-x+b是曲线y=x³-3ax的切线，得
?p：对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线．
由?p为真．
设f（x）=x³-3ax，求导函数，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，
∴-3a＞-1，得a＜$\frac{1}{3}$．
即实数a的取值范围为a$＜\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，考查直线的斜率与函数的导数的关系，考查计算能力，是中档题．