Question

设a为实数，函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+

a2

x

+5，则当x＞0时，函数f（x）的解析式为f（x）=

 

；又若对一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，则a的取值范围是

 

．（用区间或集合表示）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质，即可求出x＞0时的表达式，根据基本不等式的解法即可求出a的取值范围．

解答： 解：若x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=x+

a2

x

+5，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5=-f（x），
∴f（x）=x+

a2

x

-5，（x＞0）．
当x＞0时，f（x）=x+

a2

x

-5≥2

x• a2 x

-5=2|a|-5，
若对一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，
则2|a|-5≥a+1，
若a≥0，不等式等价为2a-5≥a+1，
解得a≥6，
若a＜0，不等式等价为-2a-5≥a+1，
解得a≤-2，
综上a的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞），
故答案为：x+

a2

x

-5，（-∞，-2]∪[6，+∞），

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用基本不等式的解法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．