Question

已知函数f（x）=x²+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}，若B为单元素集，试求q的值．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：根据方程f（x）=0和f（f（x））=0之间的关系求出集合A，B满足条件的集合关系，利用B为单元素集，建立方程关系即可得到结论．

解答： ∵集合A={x|f（x）=0，}，B={x|f（f（x））=0}
∴A⊆B
∴B={x|f（f（x）=0}={x|f²（x）+f（x）+q=0}={x|[（f（x）+

1

2

]²+q-

1

4

}
∵B为单元集，∴f（x）=-

1

2

，
∴B={q-

1

4

}，
A={x|f（x）=0}={x|x²+x+q=0，x∈R}，
当A=∅时，B=∅不符题意，故A≠∅，
当A={x|x=-

1

2

}时，△=1-4q=0，解得：q=

1

4

，
∴f（f（x））=（x²+x+

1

4

）²+（x²+x+

1

4

）+

1

4

=0，
∵△=1-4×

1

4

=0
∴x²+x+=

1

4

=-

1

2

，
x²+x+

3

4

=0，方程无解，不符B为单元集，故A≠{x|x=-

1

2

}．
∴方程x²+x+q=0有2个不相等的实数解：

x1= -1- 1-4q 2 x2= -1+ 1-4q 2

，
∴A={

-1- 1-4q

2

，

-1+ 1-4q

2

}
∵A⊆B
∴当

-1- 1-4q

2

∈B时有

-1- 1-4q

2

=q-

1

4

，解得：q1=

-3+2 3

4

或q2=

-3-2 3

4

（舍去）．
同理当

-1+ 1-4q

2

∈B时有：：q1=

-3+2 3

4

或q2=

-3-2 3

4

（舍去）．
综上，q1=

-3+2 3

4

．

点评：本题主要考查集合关系的应用，利用方程之间的关系是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．