Question

在数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
（1）设b_n=2ⁿa_n，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an+1

( 1 2 )n+1

=

an

( 1 2 )n

+1，从而a_n=n（

1

2

）ⁿ，b_n=2ⁿa_n=n，由此能证明数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由a_n=n（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法能求出{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵在数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

an+1

( 1 2 )n+1

=

an

( 1 2 )n

+1，
又

a1

1 2

=

1 2

1 2

=1，
∴{

an

( 1 2 )n

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

an

( 1 2 )n

=n，∴a_n=n（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=2ⁿa_n=n，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）∵a_n=n（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ，①

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-

1

2n

-n×（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（n+2）×(

1

2

)n．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．