Question

13．已知f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），若$y=f（{x+θ}）（{0＜θ＜\frac{π}{2}}）$是周期为π的偶函数，则θ的值是（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得y=f（x+θ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+ωθ+$\frac{π}{4}$）是周期为π的偶函数，则ωθ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，且$\frac{2π}{ω}$=π，由此求得θ的值．

解答 解：f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
若 y=f（x+θ）=$\sqrt{2}$sin[ω（x+θ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（ωx+ωθ+$\frac{π}{4}$）是周期为π的偶函数，
则ωθ+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，且$\frac{2π}{ω}$=π，
求得ω=2，θ=$\frac{π}{8}$，
故选：A．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．