Question

15．已知函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）若函数g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 解出g（x）=x+1-2ln（x+1）-a，原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．

解答 解：由f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）得：
g（x）=（1+x）²-2ln（1+x）-（x²+x+a）=x+1-2ln（x+1）-a
原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．
设h（x）=（1+x）-2ln（1+x）．∵h′（x）=1-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{x-1}{x+1}$，
列表如下：

∵h（0）-h（2）=1-（3-2ln3）=2（ln3-1）＞2（lne-1）=0，∴h（0）＞h（2）．
从而有h（x）_max=1，h（x）_min=2-2ln2
画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）
易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，
只需：2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即：a∈（2-2ln2，3-2ln3]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，本题经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．