Question

4．已知函数f（x）=x³-3x²-3x+2．
（1）点M（-1，f（-1））处的切线方程；
（2）讨论函数y=f（x）的单调区间，并求函数y=f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（-1），f′（-1），代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-3，
f′（-1）=3+6-3=6，f（-1）=1，
故切线方程是：y-1=6（x+1），
即6x-y+7=0；
（2）f′（x）=3（x²-2x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1+$\sqrt{2}$或x＜1-$\sqrt{2}$，
令f′（x）＜0，解得：1-$\sqrt{2}$＜x＜1+$\sqrt{2}$，
∴f（x）在（-∞，1-$\sqrt{2}$）递增，在（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）递减，在（1+$\sqrt{2}$，+∞）递增，
∴f（x）的极大值是f（1-$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$-3，f（x）的极小值是f（1+$\sqrt{2}$）=-4$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．