Question

12．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左右顶点分别为A（-5，0），B（5，0），点M是椭圆上异于A，B的动点，且直线AM与MB的斜率之积为$-\frac{16}{25}$；
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点重合，求抛物线上的点到直线l：3x+y+2=0的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点M（m，n），利用k_AM•k_BM=-$\frac{16}{25}$及$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，计算，可得椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求出抛物线的方程，利用点到直线的距离公式，结合配方法，即可求抛物线上的点到直线l：3x+y+2=0的距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设点M（m，n），
则k_AM•k_BM=$\frac{n}{m+5}•\frac{n}{m-5}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-25}$=-$\frac{16}{25}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴n²=$\frac{{b}^{2}}{25}$（a²-m²），即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-25}$=-$\frac{{b}^{2}}{25}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{25}$=$\frac{16}{25}$，∴b=4，
∴c=3，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$；
（Ⅱ）∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点与椭圆C的右焦点重合，
∴$\frac{p}{2}$=3，∴p=6，
∴抛物线方程为y²=12x
设抛物线上的点为（x，y），则点到直线l：3x+y+2=0的距离d=$\frac{|3x+y+2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（y+2）^{2}+1|}{\sqrt{10}}$，
∴y=-2时，抛物线上的点到直线l：3x+y+2=0的距离的最小值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查求椭圆的离心率，考查抛物线的方程，考查点到直线的距离公式，注意解题方法的积累，属于中档题．