Question

12．已知函数f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax+$\frac{x^3}{2}$+1+2xcosx，当x∈[0，1]时，
（1）求函数F（x）=f（x）+x-1的最值；
（2）若f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（2）求出G（x）的导数，问题转化为G'（0）≥0⇒a≤-3，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）F（x）=（1+x）e^-2x+x-1，
F′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x-1}{{e}^{2x}}$，
∵e^x≥x+1，∴e^2x≥2x+1，
∴F'（x）≥0恒成立，F（x）在[0，1]单调递增，
∴F（x）_min=F（0）=0，$F{（x）_{max}}=F（1）=\frac{2}{e^2}$；
（2）令$G（x）=f（x）-g（x）=（{1+x}）{e^{-2x}}-（{ax+\frac{x^3}{2}+1+2xcosx}）$，
则G′（x）=-（2x+1）e^-2x-$\frac{3}{2}$x²-2cosx+2xsinx-a，
∵G（0）=0，
∴要使G（x）≥0恒成立，则G'（0）≥0⇒a≤-3，
下面证明充分性：
由（1）知：F（x）=f（x）+x-1≥0⇒f（x）≥1-x，
∴$G（x）≥1-x-（{ax+\frac{x^3}{2}+1+2xcosx}）=-x-ax-\frac{x^3}{2}-2xcosx=-x（{1+a+\frac{x^2}{2}+2cosx}）$，
令$H（x）=1+a+\frac{x^2}{2}+2cosx$，H'（x）=x-2sinx，H''（x）=1-2cosx＜0在[0，1]恒成立，
∴H'（x）在[0，1]单调递减，
∴H'（x）≤H'（0）=0，∴H（x）在[0，1]单调递减
∴H（x）≤H（0）=1+a+2≤0
∴G（x）≥-xH（x）≥0，
∴a≤-3．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．