Question

20．求虚数z，使之同时满足以下两个条件：
（1）|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|；
（2）z-1+$\frac{5}{z-1}$是实数．

Answer 1

分析 设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），分别代入|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|，z-1+$\frac{5}{z-1}$，化简即可得出．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），
由|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|，得
|x-yi-3|=|x-yi-3i|⇒y=-x．①
由z-1+$\frac{5}{z-1}$是实数，得x-1+yi+$\frac{5}{（x-1）+yi}$∈R，y≠0⇒（x-1）²+y²=5．②
联立①和②，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1.\end{array}$
∴z=2-2i或z=-1+i．

点评 本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．