Question

7．已知向量$\overrightarrow a=（{cos\frac{3x}{2}，sin\frac{3x}{2}}），\overrightarrow b=（{cos\frac{x}{2}，-sin\frac{x}{2}}）$，且$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$．
（1）求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$及|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的运算，并根据两角和的余弦公式即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cos2x$，进而可求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，根据x的范围即可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2sinx$；
（2）先得出f（x）=cos2x-2sinx，根据二倍角的余弦公式即可得到$f（x）=-2（sinx+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$，根据x的范围可求出sinx的范围，进而便可得出f（x）的值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=cos $\frac{3x}{2}$cos $\frac{x}{2}$-sin $\frac{3x}{2}$sin $\frac{x}{2}$=cos 2x；
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=1-2cos2x+1=2（1-cos2x）=4sin²x；
∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$；
∴sinx＞0；
∴$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2sinx$；
（2）f（x）=cos2x-2sinx=-2sin²x-2sinx+1=$-2（sinx+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$；
∵$x∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}）$，∴$sinx∈[{\frac{1}{2}，1}]$；
∴sinx=1时，f（x）取最小值-3，sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）取最大值$-\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域为$[-3，-\frac{1}{2}]$．

点评 考查数量积的坐标运算，数量积的运算，两角和的余弦公式，以及二倍角的余弦公式，熟悉正弦函数图象，配方法求二次函数最值．