Question

根据下列条件求圆锥曲线的标准方程．
（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（2，0），（-2，0），并且经过点（

5

2

，-

3

2

）；
（2）离心率是e=

2

，经过点M（-5，3）的双曲线．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出a的值；根据椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆方程即可；
（2）设双曲线方程为x²-y²=λ，代入M（-5，3）可得双曲线方程．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆的两个焦点坐标分别为（-2，0），（2，0），并且经过点（

5

2

，-

3

2

），
∴2a=2

10

∴a=

10

∵椭圆两个焦点的坐标分别是（-2，0），（2，0），
∴c²=4
∴b²=a²-c²=6
∴椭圆的方程为

x2

10

+

y2

6

=1；
（2）设双曲线方程为x²-y²=λ，
代入M（-5，3）可得25-9=λ，
∴λ=16，
∴双曲线方程为x²-y²=16．

点评：圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为b²=a²-c²