Question

已知（x+

1

2 x

）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列．
（1）求展开式中的有理项；    
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由条件先求出n=8，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数为整数，求得r的值，即可求得展开式中的有理项．
（2）由于第r+1项的系数为

C

r 8

•(

1

2

)r，检验可得当r=2，r=3时，第r+1项的系数最大，由此可得展开式中系数最大的项．

解答： 解：（1）（x+

1

2 x

）ⁿ的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r n

•(

1

2

)r•xn-

3r

2

，
由题意可得 1+

C

2 n

•

1

4

=2×（

C

1 n

×

1

2

 ），解得 n=8，或 n=1（舍去），
故通项公式为T_r+1=

C

r 8

•(

1

2

)r•x8-

3r

2

．
令x的幂指数8-

3r

2

为整数，可得r=0，2，4，6，8，
故展开式中的有理项分别为T₁=x⁸，T₃=7x⁵，T₅=

35

8

x²，T₇=

7

16

•x^-1，T₉=

1

256

x^-4．
（2）由于第r+1项的系数为

C

r 8

•(

1

2

)r，检验可得当r=2，r=3时，第r+1项的系数最大．
故展开式中系数最大的项为T₃=7x⁵，T₄=7x

7

2

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．