题目内容
数列{bn}前n项和为Sn，且满足Sn=
bn-n (n∈N*)，若数列{an}满足a1=1，an=bn(
+
+…
) (n≥2，n∈N*)
（1）求b1，b2及bn；
（2）证明
=
(n≥2，n∈N*)；
（3）求证：(1+
)(1+
)…(1+
)＜3(n∈N*)．
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
（1）求b1，b2及bn；
（2）证明
| an+1 |
| an+1 |
| bn |
| bn+1 |
（3）求证：(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
考点：数列与不等式的综合
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）由Sn=
bn-n，得Sn-1=
bn-1-（n-1），n≥2，n∈N*，所以bn=3bn-1+2，由此可知bn=3n-1；
（2）由条件可得
=
+
+…
①，
=
+
+…+
+
②，②-①即可得出结论；
（3）左边=4（
+
+…+
+
），再利用放缩法，即可证明．
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）由条件可得
| an |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
（3）左边=4（
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
解答：
（1）解：因为Sn=
bn-n，所以Sn-1=
bn-1-（n-1），n≥2，n∈N*
两式相减得bn=3bn-1+2
所以bn+1=3（bn-1+1），n≥2，n∈N*
因为S1=
b1-1，所以b1=2，b2=8．
又因为b1+1=3，所以{bn+1}是首项为3，公比为3的等比数列
所以bn+1=3n，所以bn=3n-1．
（2）证明：
=
+
+…
①，
=
+
+…+
+
②，
②-①得
-
=
，∴
=
，∴
=
(n≥2，n∈N*)；
（3）证明：左边=
•
•…•
=
•
•…•
•an+1
=
•
•…•
=4（
+
+…+
+
），
∵
＜
=
（
-
）
∴
+
+…+
+
=
+
+…+
＜
（
-
）＜
，
∴(1+
)(1+
)…(1+
)＜3(n∈N*)．
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
两式相减得bn=3bn-1+2
所以bn+1=3（bn-1+1），n≥2，n∈N*
因为S1=
| 3 |
| 2 |
又因为b1+1=3，所以{bn+1}是首项为3，公比为3的等比数列
所以bn+1=3n，所以bn=3n-1．
（2）证明：
| an |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
②-①得
| an+1 |
| bn+1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| bn |
| an+1 |
| an+1 |
| bn |
| bn+1 |
（3）证明：左边=
| a1+1 |
| a1 |
| a2+1 |
| a2 |
| an+1 |
| an |
| a1+1 |
| a1a2 |
| b2 |
| b3 |
| bn |
| bn+1 |
=
| a1+1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
∵
| 1 |
| 3n-1 |
| 3n+1 |
| (3n-1)(3n+1-1) |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 3n-1 |
| 1 |
| 3n+1-1 |
∴
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 3n-1 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3n+1-1 |
| 3 |
| 4 |
∴(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| an |
点评：本题考查数列知识的综合运用和不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．
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