Question

过直线l：x+y-6=0上一点P（4，2）作圆O：x²+y²=4的两条切线，切点为A、B，求：
（1）△ABP的外接圆方程；
（2）若M为l上任意一点，求切线长的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△ABP外接圆就是四边形AOBP的外接圆；
（2）要使切线长的最小，则必须点O到直线的距离最小．

解答： 解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，
∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2

5

，
∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=5，
∴△ABP的外接圆方程为 （x-2）²+（y-1）²=5．
（2）要使切线长的最小，则必须点O到直线的距离最小．
∵圆心O到直线x+y-6=0的距离d=

6

2

=3

2

，
∴切线长的最小值为

(3 2 )2-1

=

17

．

点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．解题的关键是找出切线长最短时的条件．