Question

【题目】已知函数在处的切线方程为

（1）若= ，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；

（2）若，是否存在实数，使得对于定义域内的任意都成立；

（3）在（2）的条件下，若方程有三个解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：根据导数的几何意义， 为切线的斜率，解出，写出的切线方程求出三角形的面积为定值.利用求出，假设存在满足题意，则式子对定义域任一恒成立，解出；代入的值使方程有三个解，化为，画出的图象，要求 ＜ ＜0，解出的范围.

试题解析：（1）因为 f′（x）=

所以 f′（3）= ，

又 g（x）=f（x+1）=ax+ ，

设g（x）图象上任意一点P（x0，y0）因为 g′（x）=a﹣ ，

所以切线方程为y﹣（ax0+）=（a﹣）（x﹣x0）

令x=0 得y=； 再令y=ax得 x=2x0，

故三角形面积S=|||2x0|=4，

即三角形面积为定值．

（2）由f（3）=3得a=1，f（x）=x+ ﹣1假设存在满足题意，

则有x﹣1++m﹣x﹣1+=k

化简，得 对定义域内任意x都成立，

故只有 解得

所以存在实数m=2，k=0使得f（x）+f（m﹣k）=k对定义域内的任意都成立．

（3）由题意知，x﹣1+=t（x2﹣2x+3）|x|

因为x≠0，且x≠1化简，得 t=

即 =|x|（x﹣1），

如图可知，﹣ ＜ ＜0，

所以t＜﹣4即为t的取值范围．