题目内容
已知x∈R，向量
=（2acos2
，1），
=（1，
asin（ωx+φ）-a），设函数f（x）=
•
，（a≠0，ω＞0，0＜φ＜
），若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且其图象有一条对称轴方程为x=
．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求当a＞0时，f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[0，
]时，f（x）+b的最大值为2，最小值为-
，求a和b的值．
| OA |
| 2ω+φ |
| 2 |
| OB |
| 3 |
| OA |
| OB |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求当a＞0时，f（x）的单调增区间；
（3）当x∈[0，
| π |
| 2 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）化简可得f（x）的解析式，由题意可得ω和φ，进而可得解析式；
（2）由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
解不等式可得；（3）由x∈[0，
]可得-
≤sin(2x+
)≤1，分a大于0和小于0可得ab的方程组，解方程组可得．
（2）由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）由题意f(x)=
•
=(2acos2
， 1)•(1，
asin(ωx+ϕ)-a)
=2acos2
+
asin(ωx+ϕ)-a=a[1+cos(ωx+ϕ)]+
asin(ωx+ϕ)-a
=
asin(ωx+ϕ)+acos(ωx+ϕ)=2asin(ωx+ϕ+
)，
∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴T=
=π，∴ω=2，
且其图象有一条对称轴方程为x=
，∴ωx+ϕ+
=kπ+
，
即2×
+ϕ+
=kπ+
，即ϕ=kπ+
（k∈Z），
∵ϕ∈(0，
)，∴ϕ=
．∴f(x)=2asin(2x+
)．
（2）当a＞0时，由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），
可得f（x）的单调增区间为：[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）
（3）由x∈[0，
]，得
≤2x+
≤
，∴-
≤sin(2x+
)≤1，
①若a＜0时，有
，解得
，
②若a＞0时，有有
，解得
．
| OA |
| OB |
| ωx+ϕ |
| 2 |
| 3 |
=2acos2
| ωx+ϕ |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴T=
| 2π |
| ω |
且其图象有一条对称轴方程为x=
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
即2×
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵ϕ∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）当a＞0时，由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
可得f（x）的单调增区间为：[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（3）由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
①若a＜0时，有
|
|
②若a＞0时，有有
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|
点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及分类讨论的思想及向量的数量积，属中档题．
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