题目内容
已知函数f（x）=x2|x-a|（a∈R且a≤
）
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是1，求实数a的值．
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（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是1，求实数a的值．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）由题意，先求出函数的导数f′（x）=
，从而求出f（x）的单调区间，
（Ⅱ）解：设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是m，讨论①当a≤1时，②当1＜a≤2，③当a＞2时的情况，进而求出a的值．
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（Ⅱ）解：设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是m，讨论①当a≤1时，②当1＜a≤2，③当a＞2时的情况，进而求出a的值．
解答：
解：（Ⅰ）由题意，∵f（x）=x2|x-2|=
，
∴f′（x）=
，
∴f（x）在（-∞，0），（
，2）递减，（0，
），（2，+∞）递增．
（Ⅱ）解：设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是m
①当a≤1时，在[1，2]上，f（x）=x3-ax2，
∵f′（x）=3x（x-
a）＞0，x∈（1，2），
则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=1-a；
②当1＜a≤2，m=f（a）=0，
③当a＞2时，f（x）=ax2-x3，f′（x）=3x（
a-x），
∵2＜a≤
，
∴1＜
a≤
，
当1＜x＜
a时，f′（x）＞0，从而f（x）为区间[1，
a]上的增函数；
当
a＜x＜2时，f′（x）＜0，从而f（x）为区间[
a，2]上的减函数．
因此，当2＜a≤
，m=f（1）=a-1或m=f（2）=4（a-2），
当2＜a≤
时，4（a-2）≤a-1，故m=4（a-2）；
综上所述，所求函数的最小值m=
．
因为m=1，
∴a=0或
．
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∴f′（x）=
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∴f（x）在（-∞，0），（
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（Ⅱ）解：设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值是m
①当a≤1时，在[1，2]上，f（x）=x3-ax2，
∵f′（x）=3x（x-
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则f（x）是区间[1，2]上的增函数，
∴m=f（1）=1-a；
②当1＜a≤2，m=f（a）=0，
③当a＞2时，f（x）=ax2-x3，f′（x）=3x（
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∵2＜a≤
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∴1＜
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当1＜x＜
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当
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因此，当2＜a≤
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当2＜a≤
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综上所述，所求函数的最小值m=
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因为m=1，
∴a=0或
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点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．
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