Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当2≤x≤6时，f（x）=（

1

2

）^|x-m|+n，且f（8）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比较f（log₂2m）与f（log₂n）的大小．

Answer 1

考点：指数函数综合题,抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x+4）=f（x），可得函数的一个周期为4．进而可得f（2）=f（6），由此得到m值，进而结合f（8）=31，得到n的值；
（2）由（1）值，当2≤x≤6时，f(x)=(

1

2

)|x-4|+30图象的对称轴为x=4，且在x=4处f（x）取最大值，进而可得f（log₂2m）与f（log₂n）的大小．

解答： 解：（1）∵f（x+4）=f（x），故函数的一个周期为4．…（1分）
当2≤x≤6时，f(x)=(

1

2

)|x-m|+n，
∴f（2）=f（6），…（2分）
即(

1

2

)|2-m|+n=(

1

2

)|6-m|+n，∴|2-m|=|6-m|，解得m=4．…（4分）
又f(8)=f(4)=(

1

2

)|4-4|+n=31，∴n=30．…（6分）
（2）由（1）的计算知，当2≤x≤6时，f(x)=(

1

2

)|x-4|+30图象的对称轴为x=4，
且在x=4处f（x）取最大值．…（8分）
又f（log₂2m）=f（3），f（4）＜f（log₂30）＜f（5），…（10分）
由函数解析式可知f（3）=f（5），…（11分）
∴f（log₂2m）＞f（log₂n）．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，对数的运算性质，指数函数的单调性，是函数图象与性质的综合应用，难度中档．