Question

（1）已知函数f（x）的定义域为R，对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y），试证明：函数f（x）是奇函数．
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足条件f（x+2）=-f（x），试求f（4）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），再令y=-x，即可得证；
（2）由奇函数的条件令x=0，得f（0）=0，再令x=2，x=0，即可求出f（4）．

解答： （1）证明：已知对任意x，y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．
再令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），
因为f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．
（2）解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
令x=0，则有f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
又f（x+2）=-f（x），则有f（4）=f（2+2）=-f（2）
=-f（0+2）=f（0）=0．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，以及解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．