Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且1，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

an

}的前n项和，若对于任意的n∈N⁺，总有T_n＜m-

4

3

成立，求m的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据1，a_n，S_n成等差数列，建立条件关系，利用构造法进行化简，由此能求出a_n．
（2）判断数列{

1

an

}是等比数列，根据数列的前n项和公式，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵1，a_n，S_n成等差数列，
∴2a_n=S_n+1，
当n=1时，2a₁=a₁+1，∴a₁=1，
当n≥2时，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，
整理得

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=a₁•2^n-1=1•2^n-1=2^n-1．
（2）∵a_n=2^n-1，∴

1

an

=

1

2n-1

=(

1

2

)n-1为公比q=

1

2

的等比数列，
则T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
由T_n＜m-

4

3

得2-(

1

2

)n-1＜m-

4

3

，
即m＞

10

3

-(

1

2

)n-1，
∵0＜(

1

2

)n-1≤1，∴-1≤-(

1

2

)n-1＜0，
则，∴-

7

3

≤-(

1

2

)n-1＜

10

3

，
∴m≥

10

3

．故m的最小值为

10

3

．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．