Question

12．函数f（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$+2（a，b为常数），若f（x）在（0，1）上有最小值为-4，则f（x）在（-1，0）上有（　　）

• A． 最大值8
• B． 最大值6
• C． 最大值4
• D． 最大值2

Answer 1

分析 令g（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），可得函数g（x）为（-1，1）上的奇函数．由f（x）在（0，1）上有最小值为-4，利用对称性可得答案．

解答 解：令g（x）=asinx+blog₂$\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1），
∵g（-x）=asin（-x）+b$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$=-asinx-b$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$=-g（x），
∴函数g（x）为（-1，1）上的奇函数．
∵f（x）在（0，1）上有最小值为-4，且f（x）=g（x）+2．
∴g（x）在（0，1）上有最小值为-6，
则g（x）在（-1，0）上有最大值为6，
∴f（x）在（-1，0）上有最大值为8．
故选：A．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查奇函数的对称性的性质，是中档题．