Question

已知二次函数y=f（x）的图象与函数y=x²-1的图象关于点P（1，0）成中心对称，
（1）f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n，满足f（x）定义域为[m，n]时，值域为[m，n]，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）在y=f（x）上任取点（x，y），由二次函数y=f（x）的图象与函数y=x²-1的图象关于点P（1，0）成中心对称可得：（2-x，-y）在y=x²-1上，代入整理可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）≤1，可得n≤1＜2，故f（x）在区间[m，n]上是单调递增函数，即则f（x）=x有两个不等实根m、n，即x²-3x+3=0有两个不等实根m、n，判断△的符号，即可得到结论．

解答： 解：（1）在y=f（x）上任取点（x，y），
∵二次函数y=f（x）的图象与函数y=x²-1的图象关于点P（1，0）成中心对称，
∴（2-x，-y）在y=x²-1上，
则有-y=（2-x）²-1，
即y=-（x-2）²+1
∴f（x）=-（x-2）²+1
（2）假设存在实数m、n，满足题意，
∵f（x）≤1，
∴n≤1＜2，
∴f（x）在区间[m，n]上是单调递增函数
则f（x）=x有两个不等实根m、n，
即x²-3x+3=0有两个不等实根m、n
∵△=3²-4×3=-3＜0，方程无解．
∴不存在

点评：本题考查的知识是二次当函数的图象和性质，函数的对称变换，函数零点与方程根的关系，是函数，方程，不等式的综合应用，难度中档．