Question

5．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）ⁿ（n∈N^*）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求n的值和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含${x}^{\frac{3}{2}}$的项和展开式中各项系数的和．

Answer 1

分析 （1）写出二项展开式的第五项与第三项的系数，由系数比求得n值，进一步求得展开式中二项式系数最大的项；
（2）写出二项展开式的通项，由x得指数等于$\frac{3}{2}$求得r值，得到展开式中含${x}^{\frac{3}{2}}$的项，在二项式中取x=1得到展开式中各项系数的和．

解答 解：依题意，第五项系数为${C}_{n}^{4}•（-2）^{4}$，第三项系数为${C}_{n}^{2}•（-2）^{2}$．
（1）由$\frac{{C}_{n}^{4}•（-2）^{4}}{{C}_{n}^{2}•（-2）^{2}}=\frac{10}{1}$，得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍），
∴（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）⁸的展开式中二项式系数的最大项为${C}_{8}^{4}（\sqrt{x}）^{4}•（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{4}={2}^{4}{C}_{8}^{4}{x}^{-6}=1120{x}^{-6}$；
（2）∵${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}（\sqrt{x}）^{8-r}•（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{r}$=${C}_{8}^{r}（-2）^{r}{x}^{4-\frac{5r}{2}}$．
令$4-\frac{5r}{2}=\frac{3}{2}$，得r=1，
∴${T}_{2}={C}_{8}^{1}（-2）^{1}{x}^{\frac{3}{2}}=-16{x}^{\frac{3}{2}}$．
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x^2}$）⁸ =${C}_{8}^{0}（\sqrt{x}）^{8}+{C}_{8}^{1}（\sqrt{x}）^{7}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{1}+…+$${C}_{8}^{8}（\sqrt{x}）^{0}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{8}$，
令x=1，则各项系数之和为（1-2）⁸=1．

点评 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是中档题．