Question

14．已知{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．得到a₂，a₄，再求首项和公差，进一步求通项公式
（Ⅱ）利用错位相减法求和．

解答 解：（Ⅰ）因为{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
所以a₂=2，a₄=3，所以公差为$\frac{1}{2}$，所以${a_n}=\frac{1}{2}n+1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得到b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（$\frac{1}{2}$n+1）=2^n-1（n+2），
所以数列{b_n}的前n项和T_n=1×3+2¹×4+2²×5+…+2^n-2（n+1）+2^n-1（n+2），①
                   2T_n=2×3+2²×4+2³×5+…+2^n-1（n+1）+2ⁿ（n+2）；②
①-②得，-T_n=3+2+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ（n+2）=3+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-{2}^{n}（n+2）$=1-（n+1）2ⁿ．
所以${T_n}=（n+1）{2^n}-1$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式的求法以及错位相减法求数列的和；属于中档题．