Question

若函数f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；
（2）把（1）中求出的a值代入f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+2x-

4

3

lnx在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
又f′(x)=2ax+2-

4

3x

，
∴2a+2-

4

3

=2a+

2

3

=0，解得：a=-

1

3

；
（2）f（x）=-

1

3

x²+2x-

4

3

lnx，
函数的定义域为（0，+∞），
由f′(x)=-

2

3

x-

4

3x

+2=

-2x2+6x-4

3x

=

2

3x

(-x2+3x-1)=0，
解得：x1=

3- 5

2

，x2=

3+ 5

2

．
∴当x∈(0，

3- 5

2

)，(

3+ 5

2

，+∞)时，f′（x）＜0；
当x∈(

3- 5

2

，

3+ 5

2

)时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调减区间为(0，

3- 5

2

)，(

3+ 5

2

，+∞)；
单调增区间为(

3- 5

2

，

3+ 5

2

)．
f（x）的极小值为f（

3- 5

2

）=-

1

3

×(

3- 5

2

)2+2×

3- 5

2

-

4

3

ln

3- 5

2

=

11-3 5

6

-

4

3

ln

3- 5

2

；
f（x）的极大值为f（

3+ 5

2

）=-

1

3

×(

3+ 5

2

)2+2×

3+ 5

2

-

4

3

ln

3+ 5

2

=

11+3 5

6

-

4

3

ln

3+ 5

2

．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数极值的求法，是中档题．