Question

已知函数f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）
（1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）定义S_n=

2n-1

i-1

f（

i

n

）=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

2n-1

n

），其中n∈N^*，求S₂₀₁₄；
（3）在（2）的条件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2 an•（a_n）^m＞1对?n∈N^*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数图象关于点对称的公式，设存在满足条件的点M（a，b），则f（x）+f（2a-x）=2b，代入解析式化简整理，即可解出a=b=1；
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，将x=

i

n

（i=1，2，…，2n-1）代入函数式，并采用倒序相加的方法算出2S_n=2（2n-1），
化简得S_n=2n-1，从而算出S₂₀₁₃=2×2014-1=4027．
（3）由（2）中S_n=2n-1，结合题意算出a_n=n．原不等式等价于2n•nm＞1，两边取以e为底的对数，整理得

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立，
可得（

n

lnn

）min＞-

m

ln2

．然后设g（x）=

x

lnx

（x＞0），利用导数研究出函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．
结合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值为g（3）=

3

ln3

，由此可得

3

ln3

＞-

m

ln2

，解之即可得到实数m的取值范围．

解答： 解：（1）假设存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上，
则函数y=f（x）图象的对称中心为M（a，b）．
由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln

x

2-x

+1+ln

2a-x

2-2a+x

=2b，
即2-2b+ln

-x2+2ax

-x2+2ax+4-4a

=0对?x∈（0，2）恒成立，所以

2-2b=0 4-4a=0

解得

a=1 b=1

．
所以存在点M（1，1），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上．
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2（0＜x＜2）．
令x=

i

n

，则f（

i

n

）+f（2-

i

n

）=2（i=1，2，…，2n-1）．
因为S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（2-

1

n

），①，
所以S_n=f（2-

1

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）  ②，
由①+②得2S_n=2（2n-1），所以S_n=2n-1（n∈N^*），
所以S₂₀₁₄=2×2014-1=4027．
（3）由（2）得S_n=2n-1（n∈N^*），
所以a_n=

Sn+1

2

=n（n∈N^*），
因为当n∈N^*，且n≥2时，2 an•（a_n）^m＞1?2ⁿ•n^m＞1?

n

lnn

＞-

m

ln2

．
所以当当n∈N^*，且n≥2时，不等式

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立?(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

，
设g（x）=

x

lnx

（x＞0），则g′（x）=

lnx-1

(lnx)2

．
当0＜x＜e时，g′（x）＜0，g（x）在（0，e）上单调递减；
当x＞e时，g′（x）＞0，g（x）在（e，+∞）上单调递增；
因为g（2）-g（3）=

2

ln2

-

3

ln3

=

ln9-ln8

ln2•ln3

＞0，所以g（2）＞g（3），
所以当当n∈N^*，且n≥2时，[g（n）]_min=g（3）=

3

ln3

．
由[g（n）]_min＞-

m

ln2

，得

3

ln3

＞-

m

ln2

，解得m＞-

3ln2

ln3

．
所以实数m的取值范围是（-

3ln2

ln3

，+∞）．

点评：本题着重考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数图象的对称中心研究、利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立的讨论等知识点，属于难题．