题目内容
设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，其中Sn为数{an}的前n项和，则an= ．
考点：数列的求和
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：利用n=1求出a1，利用a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn，a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1，做差推出an-an-1=1证明是等差数列．
解答：
解：在已知式中，当n=1时，a13=S12+2S1，
∵a1＞0，∴a1=2．
当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1②
①-②得，an3=Sn2-Sn-12+2（Sn-Sn-1）=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1+2）
∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1+2=2Sn-an+2③
∵a1=2适合上式，
当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1+2④
③-④得：an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n+1．
故答案为：n+1．
∵a1＞0，∴a1=2．
当n≥2时，a13+a23+a33+…+an3=Sn2+2Sn①a13+a23+a33+…+an-13=Sn-12+2Sn-1②
①-②得，an3=Sn2-Sn-12+2（Sn-Sn-1）=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1+2）
∵an＞0，∴an2=Sn+Sn-1+2=2Sn-an+2③
∵a1=2适合上式，
当n≥2时，an-12=2Sn-1-an-1+2④
③-④得：an2-an-12=2（Sn-Sn-1）-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n+1．
故答案为：n+1．
点评：在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识，难度中等．
练习册系列答案
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