Question

10．已知p：?x∈R，mx²+4mx-4＜0为真命题．
（1）求实数m取值的集合M．
（2 ） 设不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．

解答 解：（1）命题p为真命题，即不等式m{x^2}+4mx-4＜0在R上恒成立．当m=0时，不等式为-4＜0，恒成立，所以m=0符合题意．
当m≠0时，不等式恒成立应有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16{m}^{2}+16m＜0}\end{array}\right.$．
解得-1＜m＜0，
综上-1＜m≤0，
故实数m的取值的范围是M=（-1，0]，
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件．
所以M?N．
当a＞2-a即a＞1时，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N=（2-a，a），
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-a≤-1}\end{array}\right.$．，得a≥3；
当a＜2-a即a＜1时，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N=（a，2-a}，
有：$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a≤-1}\end{array}\right.$．，得a≤-1；
当a=2-a即a=1时，不等式（x-a）（x+a-2）＜0的解集为N=∅，不满足条件．
综上a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键．