Question

若x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.5]=-2，[5.1]=5，设{x}=x-[x]，则对函数f（x）={x}，下列说法中正确的个数是（　　）
①定义域为R，值域为[0，1）；
②它是以1为周期的周期函数；
③若方程f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是（-

1

3

，-

1

4

]∪[

1

4

，

1

3

）；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），则f（x₁）≤f（x₂）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的图象

专题：

分析：抓住n≤x＜n+1时，f（x）=x-n这一特征进行求解．

解答： 解：①函数f（x）定义域为R，假设n≤x＜n+1，则f（x）=x-n∈[0，1），即①正确；
②假设n≤x＜n+1，n+1≤x＜n+2（n∈Z），则f（x）=x-n，f（x+1）=x+1-n-1=x-n，即f（x）=f（x+1），②正确；
③方程f（x）=kx+k有三个不同的根，即函数f（x）的图象与直线y=kx+k有三个不同交点，结合图象可知，k的取值范围应为(-1，-

1

2

]∪[

1

4

，

1

3

)，即③错误；
④若n≤x₁≤x₂＜n+1（n∈Z），则f（x₁）=x₁-n，f（x₂）=x₂-n，故f（x₁）≤f（x₂），④正确．
故选：C．

点评：本题在高斯函数的背景下考查了函数的图象与性质，有一定的难度．解题时，要牢牢抓住n≤x＜n+1时，f（x）=x-n这一特征．