Question

已知各项均为正的数列{a_n}中，a₁=1，对任意的正整数n都有a²_n+1=a²_n-a²_na²_n+1
（Ⅰ）求证：数列{

1

a2n

}是等差数列，并求通项a_n
（Ⅱ）若数列{b_n}，b_n=

1

an

，数列{

1

bn+bn+1

}的前项n和为S_n，求证：S_n＜

n+1

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用递推关系式经过恒等变换求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用上步的结论求出新数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求和，进一步利用放缩法求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+12=an2-an2an+12
∴an2-an+12=an2an+12
∴

1

an+12

-

1

an2

=1
∴数列{

1

an2

}是以1为首项，1为公差的等差数列      
∴

1

an2

=n
则：an=

1 n

                                       
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=

1 n

，bn=

1

an

=

n

∴

1

bn+bn+1

=

1

n + n+1

=

n+1

-

n

                         
∴Sn=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1＜

n+1

．

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，裂项相消法的应用，放缩法的应用，属于基础题型．