题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn，向量
=（Sn，1），
=（2n-1，
），满足条件
=λ
，λ∈R且λ≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（
）x，数列{bn}满足条件b1=2，f（bn+1）=
，（n∈N+）
（i） 求数列{bn}的通项公式；
（ii）设 cn=
，求数列{cn}的前n项和Tn．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设函数f（x）=（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| f(-3-bn) |
（i） 求数列{bn}的通项公式；
（ii）设 cn=
| bn |
| an |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用
分析：（Ⅰ）由
=λ
可得Sn=2n+1-2，然后利用an=Sn-Sn-1（n≥2）求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）（ⅰ）再由f(x)=(
)x，f(bn+1)=
，得到bn+1=bn+3，说明{bn}是以2为首项3为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得bn；
（ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=
，然后利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．
| a |
| b |
（Ⅱ）（ⅰ）再由f(x)=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| f(-3-bn) |
（ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=
| bn |
| an |
解答：
（Ⅰ）∵
=λ
，∴
Sn=2n-1，Sn=2n+1-2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n；
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2，满足上式．
∴an=2n；
（Ⅱ）（ⅰ）∵f(x)=(
)x，f(bn+1)=
，
∴(
)bn+1=
，
∴
=
，
∴bn+1=bn+3，
又∵b1=f（-1）=2，
∴{bn}是以2为首项3为公差的等差数列．
∴bn=3n-1；
（ⅱ）cn=
=
．
Tn=
+
+
+…+
+
①，
Tn=
+
+
+…+
+
②，
①-②得
Tn=1+
+
+
+…+
-
=1+3•
-
=1+
(1-
)-
．
∴Tn=2+3(1-
)-
=5-
．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-2)-(2n-2)=2n；
当n=1时，a1=S1=21+1-2=2，满足上式．
∴an=2n；
（Ⅱ）（ⅰ）∵f(x)=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| f(-3-bn) |
∴(
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
(
|
∴
| 1 |
| 2bn+1 |
| 1 |
| 23+bn |
∴bn+1=bn+3，
又∵b1=f（-1）=2，
∴{bn}是以2为首项3为公差的等差数列．
∴bn=3n-1；
（ⅱ）cn=
| bn |
| an |
| 3n-1 |
| 2n |
Tn=
| 2 |
| 21 |
| 5 |
| 22 |
| 8 |
| 23 |
| 3n-4 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 5 |
| 23 |
| 8 |
| 24 |
| 3n-4 |
| 2n |
| 3n-1 |
| 2n+1 |
①-②得
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 3 |
| 24 |
| 3 |
| 2n |
| 3n-1 |
| 2n+1 |
=1+3•
| ||||
1-
|
| 3n-1 |
| 2n+1 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 2n+1 |
∴Tn=2+3(1-
| 1 |
| 2n-1 |
| 3n-1 |
| 2n |
| 3n+5 |
| 2n |
点评：本题考查了平面向量的应用，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
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函数y=1+sin（x-
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| π |
| 2 |
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|