Question

如图，已知二次函数的图像过点和，直线，直线（其中，为常数）；若直线与函数的图像以及直线与函数以及的图像所围成的封闭图形如阴影所示.

（1）求；

（2）求阴影面积关于的函数的解析式；

（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的图像过点和，法一：可以直接将点代入得到，进而求解即可；法二：由二次函数的图像过点，可设（两根式），进而再将代入可求出的值，最后写出函数的解析式即可；（2）先求出直线与函数的图像的交点坐标，进而根据定积分的几何意义即可求出；（3）先由条件判断点不在曲线上，于是设出切点，进而求出切线的斜率，一方面为，另一方面，于是得到等式即，根据题意，关于的方程要有三个不相等的实根，设，转化为该函数的极大值大于零且极小值小于零，最后根据函数的极值与导数关系进行求解运算即可求出的取值范围.

(1)二次函数的图像过点，则，又因为图像过点

∴ 3分

∴函数的解析式为 4分

(2)由得，

∴直线与的图像的交点横坐标分别为， 6分

由定积分的几何意义知：

8分

（3）∵曲线方程为，

∴点不在曲线上，设切点为，则，且

所以切线的斜率为，整理得 10分

∵过点可作曲线的三条切线，∴关于方程有三个实根

设，则，由得

∵当时，在在上单调递增

∵当时，在上单调递减

∴函数的极值点为 12分

∴关于当成有三个实根的充要条件是

解得，故所求的实数的取值范围是 14分.

考点：1.二次函数的图像与性质；2.定积分的应用；3.导数的几何意义；4.函数的极值与导数.