Question

8．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+elnx-ax在x=1处取的极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到f′（1）=0，解出a即可；（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）≥f（1）=0即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+$\frac{x}{e}$-a…①，
依题意知f′（1）=0，∴a=e；        …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+elnx-ex，（x＞0），
则f′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-ex）}{{x}^{2}}$，
令g（x）=e^x-ex…②，
则g′（x）=e^x-e，由g′（x）=0，得x=1，
∵当0＜x≤1时，g′（x）≤0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴函数y=g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
∴当0＜x≤1时，g（x）≥g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，
∴对?x∈（0，+∞），g（x）≥0，即e^x≥ex…③
∴由②③，当0＜x≤1时，x-1≤0，f′（x）≤0，
当x＞1时，x-1＞0，f′（x）＞0，
∴函数y=f（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增，
∴f（x）≥f（1）=0．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．