Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线l与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，若|AB|=4p，且OA⊥OB，且$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-9．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：y=x+m与抛物线C相切于点E，与圆（x+2）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=4交于点F，G，求$\overrightarrow{EF}$•$\overrightarrow{EG}$．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3p，根据OA⊥OB得出x₁x₂+y₁y₂=0，代入$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=-9解出p；
（2）联立方程组消元，令△=0解出m，得出直线l的方程和E点坐标，与圆方程联立得出F，G的坐标关系，代入向量的数量积公式计算即可．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4p，
∴x₁+x₂=3p，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∵$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}-（{x_1}+{x_2}）=-3p=-9$，
解得p=3，
∴抛物线C的方程为y²=6x．
（2）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=6x}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消元得，x²+（2m-6）x+m²=0，
∴△=（2m-6）²-4m²=0，解之得$m=\frac{3}{2}$．
∴${x^2}-3x+\frac{9}{4}=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，故切点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，3）．
∴直线l的方程为y=x+$\frac{3}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{3}{2}\\{（x+2）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=4\end{array}\right.$，得2x²+6x+1=0，
设F（x₃，y₃），G（x₄，y₄），则x₃+x₄=-3，x₃x₄=$\frac{1}{2}$，
∴${y_3}{y_4}=（{x_3}-\frac{3}{2}）（{x_4}-\frac{3}{2}）={x_3}{x_4}-\frac{3}{2}（{x_3}+{x_4}）+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$，y₃+y₄=（x₃+x₄）+3=0，
∵$\overrightarrow{EF}=（{x_3}-\frac{3}{2}，{y_3}-3）$，$\overrightarrow{EG}$=（x₄-$\frac{3}{2}$，y₄-3），
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{EG}$=（x₃-$\frac{3}{2}$）（x₄-$\frac{3}{2}$）+（y₃-3）（y₄-3）=x₃x₄-$\frac{3}{2}$（x₃+x₄）+y₃y₄-3（y₃+y₄）+$\frac{45}{4}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$×（-3）+$\frac{29}{4}$-0+$\frac{25}{4}$=$\frac{37}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．