Question

20．已知函数f（x）=2x²-1
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（∞，0]上是减函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用偶函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）运用函数单调性的定义，即可得证．

解答 （Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都有
f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函数；
（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有
f（x₁）-f（x₂）=（2x₁²-1）-（2x₂²-1）=2（x₁²-x₂²）=2（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0]上是减函数．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的证明，注意运用定义法，考查推理能力，属于基础题．