Question

20．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$截得的弦长为$\sqrt{13}a$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出圆心到直线的距离，利用以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1截得的弦长为$\sqrt{13}$a，求出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，圆心到直线的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}}$=$\frac{ab}{c}$，
∵以F₁F₂为直径的圆被直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1截得的弦长为$\sqrt{13}$a，
∴2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{13}$a，
∴平方得4（c⁴-a²b²）=13a²c²，
∴4c⁴-17a²c²+4a⁴=0，
两边同除以4a⁴，得4e⁴-17e²+4=0，
∵e＞1，∴e=2，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据圆心到直线的距离以及直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．