题目内容
已知函数f（x）=sin
cos
+
cos2
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+b的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数
专题：解三角形
分析：（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，令正弦函数为0求出x的值，即为其图象对称中心的横坐标；
（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．
（2）利用余弦定理表示出cosx，把b2=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosx的范围，确定出x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．
解答：
解：（1）f（x）=
sin
+
（1+cos
）=
sin
+
cos
+
=sin（
+
）+
，
由sin（
+
）=0，得
+
=kπ（k∈Z），
解得：x=
，k∈Z，
则对称中心的横坐标为
（k∈Z）；
（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx=
=
≥
=
，
∴
≤cosx＜1，即0＜x≤
，
∴
＜
+
≤
，
∴
＜sin（
+
）+
≤1+
，即f（x）的值域为（
，1+
]，
综上所述，x∈（0，
]，f（x）值域为（
，1+
]．
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
由sin（
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
解得：x=
| 3k-1 |
| 2 |
则对称中心的横坐标为
| 3k-1 |
| 2 |
（2）由已知b2=ac及余弦定理，得：cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
∴
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
综上所述，x∈（0，
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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