Question

13．已知直线l₁：2x-（a-1）y+1=0，l₂：2ax+（a+1）y+a=0（a∈R）．
（1）若直线l₁的倾斜角是直线l₂的倾斜角的一半，求a值；
（2）若直线l₁，l₂与y轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$．求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线l₁、l₂的方程，讨论a的取值，求出直线l₁、l₂的斜率，利用二倍角的正切值列出方程，求出a的值；
（2）求出直线l₁、l₂交点的横坐标，再求出直线l₁、l₂与y轴交点的纵坐标，写出直线l₁、l₂与y轴围成三角形的面积，列出方程求出a的值．

解答 解：（1）直线l₁：2x-（a-1）y+1=0，l₂：2ax+（a+1）y+a=0（a∈R）．
令a-1=0，得a=1，此时直线l₁的倾斜角是$\frac{π}{2}$，
直线l₂的方程为2x+2y+1=0，倾斜角是$\frac{3π}{4}$，不满足题意；
同理可得a≠-1；
当a≠±1时，直线l₁的斜率为k₁=$\frac{2}{a-1}$，直线l₂的斜率为k₂=-$\frac{2a}{a+1}$；
由题意，k₂=$\frac{{2k}_{1}}{1{{-k}_{1}}^{2}}$，
即-$\frac{2a}{a+1}$=$\frac{2×\frac{2}{a-1}}{1{-（\frac{2}{a-1}）}^{2}}$，
化简得a²-a-2=0，
解得a=2或a=-1（不合题意，舍去），
所以a的值为2；
（2）由l₁、l₂组成方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x-（a-1）y+1=0}\\{2ax+（a+1）y+a=0}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{1}{2}$；
又直线l₁与y轴的交点为（0，$\frac{1}{a-1}$），
直线l₂与y轴的交点为（0，-$\frac{a}{a+1}$），
所以直线l₁、l₂与y轴围成的三角形面积为
$\frac{1}{2}$×|-$\frac{1}{2}$|×|$\frac{1}{a-1}$+$\frac{a}{a+1}$|=$\frac{1}{2}$，
解得a=±$\sqrt{3}$或a=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．