题目内容
4．若实数x满足x2-3x+2＜0，则$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$，（$\frac{lnx}{x}$）2，$\frac{lnx}{x}$三者的大小关系是x∈$（1，\sqrt{e}）$时，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$；$\sqrt{e}$＜x＜2时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．．
分析 实数x满足x2-3x+2＜0，解得1＜x＜2．令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函数f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）在（e，4）上单调递减．进而得出．
解答 解：实数x满足x2-3x+2＜0，解得1＜x＜2．
令f（x）=$\frac{lnx}{x}$，（1＜x＜4），
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，可得函数f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）在（e，4）上单调递减．
∴f（1）＜f（x）＜f（2），即0＜f（x）＜$\frac{ln2}{2}$＜1，∴0＜（$\frac{lnx}{x}$）2＜$\frac{lnx}{x}$．
由1＜x＜x2＜e，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．
$\sqrt{e}$＜x＜x2＜4时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．
故答案为：1＜x＜$\sqrt{e}$，$（\frac{lnx}{x}）^{2}$＜$\frac{lnx}{x}$$＜\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$．$\sqrt{e}$＜x＜2时，$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{ln{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞$（\frac{lnx}{x}）^{2}$．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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12．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}}$）图象过点（0，$\sqrt{3}}$），则f（x）图象的一个对称中心是（ ）
| A． | $（-\frac{π}{3}，0）$ | B． | $（-\frac{π}{6}，0）$ | C． | $（\frac{π}{6}，0）$ | D． | $（\frac{π}{12}，0）$ |
19．
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象上各点向左平移$\frac{1}{2}$单位，得到函数g（x）的图象，则g（$\frac{5}{2}$）=（ ）
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象（部分）如图所示，把f（x）的图象上各点向左平移$\frac{1}{2}$单位，得到函数g（x）的图象，则g（$\frac{5}{2}$）=（ ）| A． | -1 | B． | 1 | C． | -$\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{3}$ |