Question

6．已知函数f（x）=kx，g（x）=$\frac{lnx}{x}$，若?x_i∈[$\frac{1}{e}$，e]，（i=1，2）使得f（x_i）=g（x_i），（i=1，2），则实数k的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）
• B． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$]
• C． （0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 化简可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，从而令t（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求导t′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=0，从而解得t（x）在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上单调递增，在[$\sqrt{e}$，e]上单调递减；从而解得．

解答 解：由f（x）=g（x）得，k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，令t（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
由t′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=0得x=$\sqrt{e}$，
故t（x）在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$]上单调递增，
在[$\sqrt{e}$，e]上单调递减，
又t（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，t（$\frac{1}{e}$）=-e²，t（e）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故?x_i∈[$\frac{1}{e}$，e]，（i=1，2）使得f（x_i）=g（x_i），（i=1，2），
则实数k的取值范围是[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$），
故选：A．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及导数的综合应用．