Question

【题目】如图，已知四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，，是的中点，点在上，且.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）过作于，连结，根据，，是的中点，利用平面几何的知识，得到，再结合，即，得到，利用线面垂直的判定定理得到面即可.

（2）由（1）知，平面，将点到平面的距离转化为点到平面的距离，根据侧面底面，得到侧面，设点到平面的距离为，利用等体积法由求解.

（1）如图所示：

过作于，连结，

因为，，是的中点，

所以，

所以，

∵底面是正方形，，即，

∴是矩形，

∴，

又，，

∴面，

又∵面，

∴.

（2）由（1）知，平面，

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

∵底面是正方形，侧面底面，

∴侧面，

∴，

在三棱锥中，设点到平面的距离为，

由于，

∴，

在侧面中，，，是中点，

∴，，

∴，

∴，

即点到平面的距离为.