Question

7．如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，
（Ⅰ） 求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ） 求证：BC⊥PC．
（Ⅲ） 若：PD=DA=2，求：三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD与O，连接EO，则EO∥PC，由此能证明PC∥平面EBD．
（Ⅱ）推导出PA⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明BC⊥PC．
（Ⅲ） 求出点E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD=1，再求出△ABD的面积，由此能求出三棱锥E-ABD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD与O，连接EO，
∵E、O分别为PA、AC的中点，∴EO∥PC，
∵PC?平面EBD，EO?平面EBD，∴PC∥平面EBD．  …（4分）
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，…（7分）
∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，…（8分）
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
又∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC． …（8分）
解：（Ⅲ）∵PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，PD=DA=2，
∴点E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}$PD=1，
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥E-ABD的体积是V_E-ABD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×h$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$． …（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．