Question

18．（1）已知$tan（α+β）=\frac{2}{5}，tan（β-\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，求 $\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$的值；
（2）已知α，β均为锐角，且$cos（α+β）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;\;sin（α-β）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求2β；
（3）对于解决已知三角函数值求另一三角函数值的问题一般从哪些方面入手才有可能找到解决方法，请写出3种．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式求得tanα、tanβ的值，可得要求式子的值．
（2）由条件求得sin（α+β）和cos（α-β）的值，可得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值．
（3）已知三角函数值求另一三角函数值的问题一般从三个方面入手才有可能找到解决方法．

解答 解：（1）∵$tan（α+β）=\frac{2}{5}，tan（β-\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{2}{5}$，且$\frac{tanβ-1}{1+tanβ}$=$\frac{1}{4}$，
求得tanα=-$\frac{19}{25}$，tanβ=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{3}{22}$．
（2）已知α，β均为锐角，且$cos（α+β）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;\;sin（α-β）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴2β=$\frac{π}{4}$．
（3）对于解决已知三角函数值，求另一三角函数值的问题，
应用平方关系确定符号是个难点，一般从一下三个方面入手才有可能找到解决方法：
①若已知角α的某一三角函数的值以及α所在的象限，则由角α所在的象限确定符号．
②若已知角α的某一三角函数的值，则分类讨论角α所在的象限．
③若已知角α的某一三角函数的值含有字母时，开方时，应分类讨论．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，属于中档题．