Question

7．如图①，有一块圆心角为90°，半径为2的扇形钢板，计划将此钢板切割成顶部为等腰梯形的形状，最终变成图②的形状，OM⊥CD，垂足为M．

（1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，将五边形OADCB的面积S表示成θ的函数关系式；
（2）设t=cosθ-sinθ，
①求t的取值范围；
②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，并求出S的最大值及取得最大值时θ的值．

Answer 1

分析 （1）设∠MOD=θ，以θ为自变量，∠AOD=∠BOC=45°-θ，即可将五边形OADCB的面积S表示成θ的函数关系式；
（2）设t=cosθ-sinθ，
①利用辅助角公式求t的取值范围；
②用仅含t的式子表示五边形OADCB的面积S，用配方法求出S的最大值及取得最大值时θ的值．

解答 解：（1）由题意，∠AOD=∠BOC=45°-θ，∴S=$\frac{1}{2}×2×2×$sin2θ+2×$\frac{1}{2}×2×2×$sin（45°-θ）=2sin2θ+4sin（45°-θ）（0°＜θ＜90°）；
（2）①t=cosθ-sinθ=$\sqrt{2}$sin（45°-θ），
∵0°＜θ＜90°，∴-45°＜45°-θ＜45°，∴-1＜t＜1；
②∵t=cosθ-sinθ，
∴sin2θ=1-t²，
∴S=2（1-t²）+2$\sqrt{2}$t=-2（t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+3，
∵-1＜t＜1，∴t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=15°S取得最大值3．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．