Question

14．有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的所有项的和．

Answer 1

分析 （1）由等差数列2，6，10，…190的公差为4，等差数列2，8，14，…，200的公差为6，得到由这两个等差数列的公共项组成一个新数列公差为12，由此能求出这个新数列{a_n}的通项公式．
（2）根据条件求出这个新数列{a_n}的项数，再利用求和公式求得它的各项和．

解答 解：（1）设两个等差数列2，6，10，…，190，及2，8，14，…，200的通项公式分别为b_n和 c_n，
则易知：b_n=4n-2（ 1≤n≤48，n∈N^*），c_n=6n-4 （1≤n≤34，n∈N^* ）．
设 b_n=c_m，即 4n-2=6m-4，则 n=m+$\frac{m-1}{2}$∈N^*，
故m=2k-1，k∈N₊，k≤16，{a_n}是以c₁为首相，以12为公差的等差数列．
∴a_n=2+12（n-1）=12n-10．
（2）设新数列{a_n}的前n项和为S_n，∵新数列最大项满足 a_n≤190，
∴2+（n-1）×12≤190，解得n≤$\frac{50}{3}$，∴n=16．
∵新数列中第16项a₁₆=2+（16-1）×12=182，
新数列{a_n}的各项为：2，14，26，…，182，
∴{a_n}的各项之和为S₁₆=$\frac{16（2+182）}{2}$=1472．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的基本性质的合理运用，属于中档题．