Question

5．如图，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（{2，\sqrt{2}}）$，四边形ABCD的顶点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，${k_{AC}}•{k_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}$．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（2）求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（{2，\sqrt{2}}）$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设直线AC、BD的方程分别为$y=kx，y=-\frac{1}{2k}x$．联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2k}x\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．由此能证明四边形ABCD的面积为定值．

解答 解：（1）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点$（{2，\sqrt{2}}）$，
∴由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ \frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=8\\{b^2}={c^2}=4\end{array}\right.$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．
证明：（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设x₁＞0，x₂＞0．
设k_AC=k，∵${k_{AC}}•{k_{BD}}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$，∴${k_{BD}}=-\frac{1}{2k}$
可得直线AC、BD的方程分别为$y=kx，y=-\frac{1}{2k}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2k}x\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$．
解得${x_1}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+2{k^2}}}}，{x_2}=\frac{4|k|}{{\sqrt{1+2{k^2}}}}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}=\frac{{4\sqrt{2}|k|}}{{1+2{k^2}}}≤\frac{{4\sqrt{2}|k|}}{{2\sqrt{2}|k|}}=2$，
当且仅当$|k|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时取等号．
由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴$S_{四边形ABCD}^2=4[{{{|{OA}|}^2}{{|{OB}|}^2}-{{（{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}）}^2}}]$
=$4[{（{x_1^2+y_1^2}）（{x_2^2+y_2^2}）-{{（{{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}}）}^2}}]$
=$4{（{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}）^2}$=$4{（{-\frac{1}{2k}{x_1}{x_2}-k{x_1}{x_2}}）^2}$=$4{（{k+\frac{1}{2k}}）^2}{（{\frac{{8\sqrt{2}k}}{{1+2{k^2}}}}）^2}$=128，
∴四边形ABCD的面积=$8\sqrt{2}$为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质、弦长公式的合理运用．